Introducción.
La idea de vector está tomada de la Física,
donde sirven para representar magnitudes vectoriales como fuerzas, velocidades
o aceleraciones. Para ello se emplean vectores de dos componentes en el plano,
de tres componentes en el espacio...
Se supone conocida la
representación gráfica y manejo de los vectores de ℜ2 y
de ℜ3. En
Matemáticas, tratamos de abstraer las propiedades que caracterizan a los
vectores para extenderlas también a otro tipo de objetos diferentes de los
vectores de la Física.
Esencialmente,
el comportamiento que caracteriza a los vectores es el siguiente:
• Podemos sumar dos vectores y obtenemos otro vector;
• Podemos
multiplicar un vector por un número (escalar) y obtenemos otro vector.
Además estas operaciones cumplen ciertas
propiedades, que observamos en los vectores de ℜ2 y de ℜ3
:
En lo sucesivo, utilizaremos
habitualmente la siguiente notación: u,v,w (u otras letras latinas) para
vectores, mientras que las letras griegas designarán escalares.
Propiedades
de la suma de vectores.
• Asociativa: (u+v)+w = u+(v+w)
• Conmutativa:
v+u=u+v.
Propiedades
del producto de un vector por un escalar.
• Asociativa: (αv) = () v
• Distributivas:
Respecto de la suma de escalares:
(α+) v = αv +v
Respecto de la suma de vectores:
α(u + v) = αu +αv
• Existe un elemento unidad: el escalar 1, tal que 1· v = v para cualquier vector v.
• Existe un elemento unidad: el escalar 1, tal que 1· v = v para cualquier vector v.
Definición:
espacio vectorial.
Cualquier conjunto que posea unas
operaciones suma y producto por escalares, cumpliendo todas las propiedades
anteriores, diremos que es un espacio vectorial. Los elementos de tal conjunto
se llamarán vectores (aunque pueda tratarse de objetos diferentes a los
vectores de la Física.)
Diremos que el espacio vectorial es real o
complejo, según sean los escalares.
Ejemplos
de espacios vectoriales.
1) El
espacio , formado por los vectores de n
componentes (x1, . . .,xn)
es un espacio
vectorial real, en el que se pueden sumar vectores y
multiplicar por un escalar (real) de la forma habitual.
Se puede comprobar que se cumplen las
propiedades requeridas para ambas operaciones.
El vector cero es (0,. . .,0).
No es un espacio vectorial complejo, pues no
podemos multiplicar por escalares complejos (si lo hacemos, el resultado no se
mantendrá dentro de ).
2) Consideremos el conjunto P2 de los polinomios de grado ≤ 2 con coeficientes reales:
P2 ={ ax2
+ bx + c : a, b, c ∈ }
Se puede comprobar que se cumplen las
propiedades requeridas. El vector es el polinomio cero: 0x2 + 0x + 0
No es un espacio vectorial complejo, pues al
multiplicar por un escalar complejo el resultado podrá ser un polinomio
complejo que no pertenece a P2.
3) Consideremos el conjunto G de los polinomios
de grado = 3 (exactamente 3) con coeficientes reales.
No es
un espacio vectorial (real ni complejo), pues al sumar dos elementos de G, no está
garantizado que el resultado esté en G. En efecto, consideremos los polinomios
p
= x3+x2+x+1 , q =
–x3+x2+x+1
Pertenecen a G, pues su grado es 3. Pero su
suma es p+q = 2x2+2x+2 que no pertenece a G (su grado no es
3).
4) Consideremos el conjunto M2x2 (también denotado por M2) de las matrices 2x2 con términos reales:
M2x2 = ⎨⎬
Es un
espacio vectorial real, pues podemos sumar dos matrices de M2x2 obteniendo otra matriz de M2x2 , y multiplicar una matriz de M2x2 por un escalar real obteniendo otra matriz
de M2x2. Se puede comprobar que se cumplen las
propiedades. El vector 0 es, en este
caso, la matriz con todos sus términos nulos.
No es un espacio vectorial complejo.
5) Consideremos el conjunto MC de las matrices 2x3 con términos
complejos.
Es un
espacio vectorial real, pues podemos sumar dos matrices de MC
obteniendo otra matriz de MC, y multiplicar un elemento de MC por un escalar real
obteniendo otra matriz de MC.
También
es un espacio vectorial complejo, pues podemos multiplicar una matriz de MC
por un escalar complejo
obteniendo otra matriz de MC.
(Compruébese con elementos genéricos).
6) Consideremos el conjunto ME de las matrices 3x2 con términos
enteros.
Podemos sumar dos matrices de ME y obtenemos
otro elemento de ME:
En efecto, si tomamos , con
a, a’, b, b’, c, c’, d, d’ enteros,
⎛⎞⎜⎟
= ⎛⎜
también tiene términos enteros, luego pertenece a ME.
Sin embargo ME no es un espacio vectorial real, pues al multiplicar un elemento de ME por un
escalar real no está garantizado que el resultado permanezca dentro de ME. Si
el escalar es p.ej. el número real
1.25, el resultado ya no es una
matriz con términos enteros.
Por similar razón tampoco es un espacio
vectorial complejo.
7) El conjunto C
de los números complejos se puede considerar como un espacio vectorial real. En
efecto, se pueden sumar dos números complejos obteniéndose otro número
complejo; y se puede multiplicar un complejo por un escalar real, obteniéndose
otro complejo. Es decir,
La suma y el producto por un escalar cumplen
todas las propiedades requeridas. En este caso el vector 0es el número complejo cero, 0+0i.
Nótese que aquí los complejos funcionan como
vectores (elementos del espacio vectorial C ) y los reales como escalares.
Observar además que, en este contexto, el
conjunto de los números complejos se comporta igual que el espacio vectorial ℜ, identificando el número complejo a+bi con el vector (a,b). 
Este es el motivo por el cual se suele
representar el plano complejo como si fuera ,
con la parte real en el eje de abscisas y la parte imaginaria en
el eje de ordenadas.
8) El conjunto de las funciones continuas
definidas en : Se pueden sumar dos funciones, y se puede multiplicar una
función por un escalar real.
Por ejemplo, las funciones f(x)=x2 y g(x)=log(x) pueden sumarse y resulta otra función h(x)=x2+log(x).
La función g(x)=log(x) puede multiplicarse
por el escalar λ y resulta la función k(x)=λ log(x).
Si sumamos dos funciones continuas, el
resultado es otra función continua. Si multiplicamos una función continua por
un escalar, el resultado es otra función continua.
Las operaciones cumplen las propiedades
requeridas. El vector 0es la función
constante 0.
Por tanto se trata de un espacio vectorial real.
Hay muchos otros espacios vectoriales.
Gracias a esto, las propiedades que encontremos para espacios vectoriales en
general, las podemos aplicar a matrices, polinomios, funciones...
SUBESPACIOS
VECTORIALES
Dado
un espacio vectorial V, podemos considerar una parte S de él que funcione como
un espacio vectorial “más pequeño”, incluido en V.
Como
V es un espacio vectorial, posee unas operaciones (suma, producto por un
escalar) que en particular se pueden efectuar en S. Sólo necesitaremos que, al
efectuarlas, su resultado quede dentro de S.
Definición: Subespacio.
Dado
un espacio vectorial V, se dice que un subconjunto S de V es un subespacio
vectorial si contiene al vector , y si al efectuar las operaciones de suma y
producto por escalar entre vectores de S, el resultado permanece en S.
(Se
puede decir que S es “cerrado” para las operaciones suma y producto por
escalar.)
Es
decir:
• ∈ S .
• Si v, w ∈ S entonces v + w ∈ S.
• Si v ∈ S
y λ es un escalar, entonces λv
∈ S.
Ya
no hace falta comprobar que se cumplen las propiedades asociativa, conmutativa,
etc. puesto que sabemos que se cumplen en V, y por tanto también en S (se dice
que S “hereda” las propiedades de las operaciones en V).
Por
supuesto si para V utilizamos escalares reales, también para S; si para V
utilizamos complejos, también para S.
Ejemplos de subespacios.
1) La
recta x=y es un subespacio de . Está formado por los vectores de la forma
(a,a).
Contiene
al vector (0,0).
Además,
es cerrado para la suma y producto por escalar:
• Suma: (a,a) + (b,b) = (a+b, a+b)
que también es un elemento de la recta.
• Producto por un escalar: λ∈ℜ, λ(a,a) = (λa, λa) que también es un elemento
de la recta.
2) El
plano XY es un subespacio de ℜ.
Está formado por los vectores de la forma (x,y,0). 
Contiene
al vector (0,0,0).
Además,
es cerrado para la suma y producto por escalar:
• Suma: (x,y,0) + (x’,y’,0) = (x+x’,
y+y’, 0) que también es un elemento del plano.
• Producto por un escalar: λ∈ℜ,
λ(x,y,0)=(λx, λy, 0) que también es un elemento del plano.
Podemos decir que este plano “es como ” pero
incluido en ℜ .
3) ¿Es un subespacio de el
conjunto de los vectores de la forma (a,1)?
No,
puesto que no contiene al (0,0).
O también: porque no se puede sumar dentro
de este conjunto, por ejemplo (a,1)+(b,1)=(a+b,2) que no pertenece al conjunto.
4) En el espacio P2 = { polinomios de grado ≤ 2 }, el conjunto
de los polinomios de grado ≤1 forma un subespacio. En efecto, contiene al
polinomio cero, y podemos sumar y multiplicar por un escalar sin salir del
conjunto:
• Suma: (ax+b) + (a’x+b’) = (a+a’)x +
(b+b’) que también es un polinomio de grado ≤1.
• Producto por escalar: λ∈,
λ(ax+b)= λax+λb que también es un polinomio de grado ≤1.
5) En M2 = { matrices 2x2 }, el conjunto de las
matrices simétricas ⎛⎜ es un subespacio. Contiene a la matriz
nula, y es cerrado para las operaciones:
• Suma: + ⎛⎞⎜⎟=
⎛⎜ que también es una matriz simétrica.
• Producto por escalar: λ∈,
λ⎛⎞⎜⎟= ⎛⎜ que también es una matriz simétrica.
6) Geométricamente, los subespacios vectoriales
de ℜ y son rectas, planos, y sólo uno de ellos es
un punto, el {}. 
Las curvas o las superficies curvas no son
subespacios; tampoco las figuras geométricas finitas, como círculos o polígonos
en el plano, esferas o poliedros en el espacio.
(Comprobar
gráficamente que no pueden sumarse vectores dentro de
este tipo de conjuntos)
7) En todo espacio vectorial existen el
subespacio cero, formado solamente por el vector {}, y el subespacio total,
formado por todos los vectores del espacio. 
OPERACIONES
CON SUBESPACIOS
A partir de dos subespacios podemos
construir otro efectuando las operaciones de suma o intersección de
subespacios.
1. Intersección de subespacios.
La intersección, indicada por el símbolo ∩ ,
puede aplicarse a conjuntos cualesquiera, no sólo a espacios vectoriales.
Consiste en encontrar los elementos comunes a dos conjuntos.
Por ejemplo, la intersección de dos planos
en 3 podrá
ser una recta.
Teorema
La intersección de subespacios es un
subespacio.
En efecto, es posible sumar vectores dentro de S∩T , pues por ser
S y T subespacios, la suma debe permanecer dentro de S y dentro de T, y por
tanto dentro de S∩T. Lo mismo para el producto por escalares.
Cálculo
de la intersección.
La forma más sencilla (aunque no la única)
de calcular S∩T es utilizar la expresión implícita de S y de T.
Como buscamos los vectores que verifiquen a
la vez ambas condiciones, podremos describir S∩T considerando conjuntamente las
ecuaciones implícitas de S y las de T (formando un sistema con todas ellas).
Este sistema, si es “sencillo”, puede
considerarse ya como la forma implícita de S∩T.
En todo caso, resolviendo este sistema
obtenemos la forma paramétrica de S∩T.
Definición:
Combinación lineal.
Dado un conjunto de vectores v1, . . ., vn se llama una combinación lineal de ellos a
cualquier vector de la forma
v = α1 v1 + . . . + αn vn
donde
α1 , . . . , αn son
escalares, llamados coeficientes de la combinación lineal.
Teorema.
Para probar que un conjunto S es subespacio,
basta probar que:
La combinación lineal de
elementos de S está en S.
(Ello es debido a que calcular una combinación lineal de vectores
involucra tanto la suma como el producto por escalares, así que equivale a
probar ambas cosas por separado).
Esto se suele expresar diciendo que un
subespacio es un conjunto “cerrado” para las combinaciones lineales.
Definición:
Dependencia lineal.
Se dice que un conjunto de vectores es
linealmente dependiente (o ligado) si:
(a) Al menos uno
de ellos es combinación lineal de los demás.
Esto se puede expresar también así:
(b) El vector
es combinación lineal de ellos (con coeficientes no todos nulos).
es combinación lineal de u, v , w puesto que 0 = v+2u–w, (y los coeficientes de esta combinación lineal son 1, 2, –1 que no son todos nulos).
Observación
Si un conjunto es linealmente dependiente,
entonces por (a)
sabremos que existe algún vector entre ellos que es combinación lineal de los
demás. Pero esto no quiere decir que “cualquier” vector de ellos sea combinación
lineal de los demás.
En caso de que un conjunto de vectores no
sea linealmente dependiente, se dice que es linealmente independiente ( o libre
) .
Por tanto, escribiendo la negación de la
definición de dependencia lineal, tendremos que un conjunto de vectores es
linealmente independiente cuando:
(a) Ninguno de ellos es combinación lineal de los
demás.
O equivalentemente:
(b) El vector 0
no es combinación lineal de ellos, a no ser que la combinación tenga
coeficientes todos nulos.
Expresando (b) de otra manera,
(b) La única forma de poner como combinación lineal de los vectores, es con
todos los coeficientes nulos.
1) El conjunto formado por un solo vector v
no nulo, es libre.
(En efecto, una combinación lineal de v es
solamente λv, y λv= sólo
puede conseguirse con λ=0).
2) Dos vectores v, w son
linealmente dependientes cuando uno es múltiplo del otro , v=λw
(ya que esto equivale a decir que uno es
combinación lineal del otro).
3) Todo conjunto que contenga al es ligado.
Veámoslo para 3 vectores: si tenemos { v, w, 0} podemos formar 0como
combinación de ellos: 
0 v + 0
w + 1 = 0 
y los coeficientes de esta combinación
lineal son 0, 0, 1 y por tanto no todos nulos.
4) Si un conjunto es ligado, añadiéndole
vectores sigue siendo ligado.
(En efecto, si un vector es combinación de
otros, aunque añadamos más vectores seguirá siéndolo.)
5) Si un conjunto es libre, quitándole vectores
sigue siendo libre.
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